[数学] 黄金比の循環調和曲線

黄金比を適用した、循環調和曲線の数式を説明します。また、複数の循環調和曲線の図を作成する、SageMath スクリプトも公開します。

(There is the English(英語) page.)

(最終更新日: 2021年2月21日)

前書き

循環調和曲線とは、“cyclic-harmonic curve” ^{1 2 3} のことです。 まだ、一般的に通用する日本語訳がないようなので、個人的に訳してみました（直訳です）。

Web で、バラ曲線 (または、正葉曲線) の勉強をしているときに、循環調和曲線のことを知りました。

この曲線を描いた図の中に、大小の花びらで構成されたような図があります。先に示した図もその一つです。今回は、このような図の、大小の花びらの長さに、黄金比 を適用してみました。その数式を、以下 に説明します。

また、黄金比を適用した、複数の循環調和曲線の図を作成する、SageMath スクリプトも作成しました。そのスクリプトは、このページの 後半 で公開します。

黄金比の循環調和曲線

循環調和曲線の数式

循環調和曲線は、以下の極座標の方程式で表されます。

$$r=a\cos \left(\frac{n}{d}\theta \right)+b$$

• $n$ と $d$ は、正の整数です。
• $a$ と $b$ は、正の実数です。
• $\theta$ は、$0$ から $2d\pi$ まで、変化します。

ちなみに、この式の $b$ を $0$ にした場合が、バラ曲線 に該当します。

循環調和曲線を描いた図は、以下の条件のときに、大小の花びらで構成されたような図になります。

• $n\ge d$
• $a>b$

このとき、大小の花びらの枚数は、同じ数で、以下の式で求められます。

$$\frac{n}{\gcd (n,d)}$$

また、大小の花びらの長さは、以下の式で求められます。

• 大きな花びらの長軸の長さ (下図の $l$ ) は、$a+b$ です。
• 小さな花びらの長軸の長さ (下図の $s$ ) は、$a-b$ です。

黄金比の適用

今回は、大小の花びらの長さの比率を、以下のように、黄金比 にします。

$$s:l=(l-s):s=1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

この式に、花びらの長さの式を代入すると、以下のようになります。

$$(a-b):(a+b)=1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

循環調和曲線の式の変数 $a$ は、図の倍率に相当します。 そこで式を単純にするために、$a=1$ とします。すると、前述の式は、以下のようになります。

$$(1-b):(1+b)=1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$$\therefore (1-b)\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+b$$

この式を $b$ について解くと ⁴ 、以下のようになります。

$$b=\sqrt{5}-2\approx 0.236>0$$

$a$ と $b$ が決定したので、大小の花びらの長さを計算してみると、それぞれ、以下のようになります。 ⁵

$$\begin{array}{rl}l& =1+(\sqrt{5}-2)\approx 1.236\\ s& =1-(\sqrt{5}-2)\approx 0.764\end{array}$$

最後に、循環調和曲線の式に、決定した $a$ と $b$ の値を代入すると、以下のようになります。

$$r=\cos \left(\frac{n}{d}\theta \right)+\sqrt{5}-2$$

あとは、この式の $n$ と $d$ に、いろいろな数値を代入すれば、黄金比で構成された、様々な図を描くことができます。

以下に、例を示します。

例1 :   $n=1$ ,   $d=1$

$n$ と $d$ は、$n=1$ と $d=1$ の組み合わせが、一番簡単な例になります。

以下に、使用した数式と、SageMath version 9.0 での実行結果を、順に示します。

$$r=\cos \theta +\sqrt{5}-2$$

sage: var('θ') # シンボリック変数 θ を作成します。一回だけ実行すれば良いです。
sage: polar_plot(cos(θ)+sqrt(5)-2, (θ, 0, 2*pi), plot_points=200)

上図で、大小の花びらの長さが、計算した値と等しいことを、確認できます。

例2 :   $n=3$ ,   $d=1$

$$r=\cos 3\theta +\sqrt{5}-2$$

sage: polar_plot(cos(3*θ)+sqrt(5)-2, (θ, 0, 2*pi), plot_points=200)

例3 :   $n=5$ ,   $d=3$

$$r=\cos \left(\frac{5}{3}\theta \right)+\sqrt{5}-2$$

sage: polar_plot(cos((5/3)*θ)+sqrt(5)-2, (θ, 0, 2*3*pi), plot_points=200*3)

例4 :   $n=12$ ,   $d=7$

前述の3つの例で、花びらの長さが、計算した値と等しいことを、確認できたと思います。そこで、これ以降の例では、図形の美しさを楽しめるように、座標軸を表示しないことにします。

$$r=\cos \left(\frac{12}{7}\theta \right)+\sqrt{5}-2$$

sage: polar_plot(cos((12/7)*θ)+sqrt(5)-2, (θ, 0, 2*7*pi), plot_points=200*7, axes=False)

例5 :   $n=25$ ,   $d=6$

$$r=\cos \left(\frac{25}{6}\theta \right)+\sqrt{5}-2$$

sage: polar_plot(cos((25/6)*θ)+sqrt(5)-2, (θ, 0, 2*6*pi), plot_points=200*6, axes=False)

例6 :   $n=49$ ,   $d=6$

$$r=\cos \left(\frac{49}{6}\theta \right)+\sqrt{5}-2$$

sage: polar_plot(cos((49/6)*θ)+sqrt(5)-2, (θ, 0, 2*6*pi), plot_points=200*6, axes=False)

複数の循環調和曲線の図を作成するスクリプト

前述した、循環調和曲線の式から、複数の図を、まとめて作成するための、SageMath スクリプトと、その作成例を、以下に示します。

stop_int = 50 # >= 2

file_ext = "svg"
#file_ext = "png"

var('θ') # Create a symbolic variable 'θ'

for numer in range(1, stop_int):        # Numerator
    for denom in range(1, (numer + 1)): # Denominator

        if gcd(numer, denom) != 1:
            continue

        c_h_curve = polar_plot( cos((numer/denom)*θ)+sqrt(5)-2, \
            (θ, 0, 2*denom*pi), plot_points=200*denom)

        file_name = "c_h_curve_" + str(numer) + "_" + str(denom) + \
            "_gold." + file_ext

        c_h_curve.save(file_name, axes=False)

        print(file_name + " saved.")

ファイル名: c_h_curve_29_13_gold.svg

このスクリプトを実行するには、スクリプトのコピーをファイル (例えば、make_figures.sage) に保存し、端末で、以下のコマンドを実行してください。

$ sage make_figures.sage

このスクリプトは、$n$ と $d$ の値の、$1$ から $(\mathrm{stop}\mathrm{\_}\mathrm{int}-1)$ までの範囲の、全ての組み合わせの図を作成します。 ただし、同じ形の図になる、一部の $n$ と $d$ の値の組み合わせの図は、出力しないようにしています。

例えば、以下の3つの循環調和曲線の式は、同じ形になります。

$$\begin{array}{rl}r& =\cos \left(\frac{3}{2}\theta \right)+\sqrt{5}-2\\ r& =\cos \left(\frac{6}{4}\theta \right)+\sqrt{5}-2\\ r& =\cos \left(\frac{9}{6}\theta \right)+\sqrt{5}-2\end{array}$$

このスクリプトでは、一番目の図のみ出力し、それ以降の同じ形の図は、出力しません。 そのため、このスクリプトで出力される図は、全て違う形になります。

スクリプト内の、$\mathrm{stop}\mathrm{\_}\mathrm{int}$ 変数の値を変更すれば、作成される図の数を変更することができます。 以下に例を示します。

$\mathrm{stop}\mathrm{\_}\mathrm{int}$ の値	作成される図の数
30	270
50	754
100	3004

$\mathrm{stop}\mathrm{\_}\mathrm{int}=100$ の時に、作成された図を確認したところ、$n=50$ 以上の循環調和曲線の図は、どれも似たような図になりました。よって、このスクリプトを試すときは、$\mathrm{stop}\mathrm{\_}\mathrm{int}=50$ で、十分だと思います。

また、このスクリプトでは、図を SVG 形式で出力していますが、出力されるファイル名の拡張子を変更することで、図を別の形式で出力することもできます。例えば、図を PNG 形式で出力するときは、スクリプト内でコメントアウトしている箇所を変更してください。

以上、興味のある方は、お試しください。

追記

色を塗った、循環調和曲線の例を、別のページ に掲載しています。

---

1. Robert E. Moritz, The General Theory of Cyclic-Harmonic Curves. Annals of Mathematics Second Series, Vol. 23, No. 1 (Sep., 1921), pp. 29-39 (11 pages).
   DOI: 10.2307/1967779
   Documentation on JSTOR↩︎

2. Sonja Gorjanc, Ema Jurkin, Generalized Rose Surfaces and their Visualizations. 2013.
   Documentation on arXiv↩︎

3. Cyclic-harmonic curves on mathcurve.com↩︎

4. 計算手順を以下に示します。

   $$\begin{array}{rl}(1-b)\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}& =1+b\\ (1-b)(1+\sqrt{5})& =2(1+b)\\ (1+\sqrt{5})-(1+\sqrt{5})b& =2+2b\\ -(1+\sqrt{5})b-2b& =2-(1+\sqrt{5})\\ (1+\sqrt{5})b+2b& =-2+(1+\sqrt{5})\\ (3+\sqrt{5})b& =-1+\sqrt{5}\\ b& =\frac{-1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\\ & =\frac{(-1+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}\\ & =\frac{-3+\sqrt{5}+3\sqrt{5}-5}{9-5}\\ & =\frac{-8+4\sqrt{5}}{4}\\ & =-2+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{5}-2\end{array}$$↩︎

5. 検算手順を以下に示します。

   $$\begin{array}{rl}\frac{l}{s}& =\frac{1+(\sqrt{5}-2)}{1-(\sqrt{5}-2)}\\ & =\frac{-1+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\\ & =\frac{(-1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\ & =\frac{-3-\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5}{9-5}\\ & =\frac{2+2\sqrt{5}}{4}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ & =\phi \end{array}$$↩︎