正の実数を底とする指数関数と、その導関数の関係を、グラフのアニメーションと静止画を使って説明します。

(最終更新日: 2021年3月24日)

前書き

数学の解析学の本には、ネイピア数 $e$ を底とする指数関数 $e^{x}$ のグラフが、必ず掲載されています。また、その式の導関数が、元の式と等しいことも、必ず掲載されています。

しかし、正の実数 $a$ を底とする指数関数 $a^{x}$ のグラフは、掲載されていないことがあります。また、その式の導関数のグラフは、まず、掲載されません。

そこで、指数関数 $a^{x}$ と、その導関数の関係を、視覚的に理解するために、これらのグラフのアニメーション（動画）を作成しました。また、これらのグラフを、より理解するために、グラフの特徴的な例を、静止画と共に説明しました。そのアニメーションと静止画を、次の章に公開します。

このページは、数学を勉強している人（学生など）を対象としています。特に、数式や、そのグラフを読み取ることに慣れていない人を対象としています。

これらのアニメーションと静止画は、SageMath で作成しました。その SageMath スクリプトを、次のページに公開します。ご興味のある方は、そのページもご覧ください。

指数関数とその導関数のアニメーション

数式

$a$ （正の実数、 $a \neq 1$ ）を底とする指数関数 $y$ と、その導関数 $y^{'}$ の数式を、以下に示します。

$\begin{aligned} y & = a^{x} \\ y^{'} & = a^{x} \log a \end{aligned}$

ここで注目して欲しいことは、以下の2点です。

どちらの式にも「 $a^{x}$ 」が含まれている。
導関数の式にだけ「 $\log a$ 」が含まれている。

$a^{x}$ の部分は同じなので、どちらの式の値とも、 $a$ と $x$ の値に応じて、似たような変化をします。また、導関数の式の値は、この $a^{x}$ に、常に、 $\log a$ を掛けた値になります。

これらの式については、後で、もう少し詳しく説明します。まずは、上記のことを理解した上で、次のアニメーションを見てください。

アニメーション

前述した式の $a$ を、 $1.1$ から $5$ まで変化させたときの、２つの式のグラフの変化を、以下のアニメーションに示します。まずは、アニメーションを見て、全体の挙動を、大まかに把握してください。

アニメーションの中の個々のグラフは、前述した、指数関数 $y = a^{x}$ と、その導関数 $y^{'} = (a^{x})^{'} = a^{x} \log a$ の２つの式の曲線を示しています。 $a$ が変化することで、この２つの曲線の形も変わります。

ここで注目して欲しいことは、 $a$ が変化していくときの、以下の変化です。

導関数の曲線が、指数関数の曲線に、徐々に近づいていく。
ある時点で、２つの曲線が一致する。
その後、導関数の曲線が、指数関数の曲線から、徐々に離れていく。

指数関数の曲線に対して、導関数の曲線は「移動していく」ように見えます。

このような曲線の挙動を理解するため、前の節で説明した「 $a^{x}$ 」と「 $\log a$ 」を思い出してください。

指数関数の式は、 $a^{x}$ そのものです。そのため、指数関数の曲線の挙動が、 $a^{x}$ の変化の様子を表しています。

一方、導関数の式は、 $a^{x}$ に $\log a$ を掛けています。そのため、導関数の曲線は、 $a^{x}$ と $\log a$ の２つの式の影響を受けます。導関数の曲線の「移動していく」ような挙動は、 $\log a$ の影響と考えられます。よって、このような挙動を理解するポイントは、 $\log a$ の変化の様子を理解することです。

そこで、以下に示す、対数関数 $\log x$ のグラフのアニメーションを見てください。

対数関数 $\log x$ のグラフには、ユーザーに注目して欲しい箇所を強調するために、補助線や矢印を追加しています。 $\log x$ の曲線の形は、アニメーション全体を通して、変化しません。グラフの中の赤い点は、 $\log x$ の $x$ に、 $a$ を代入したことを表しています。

ここで注目して欲しいことは、 $\log a$ の値の、以下のような変化です。

$1$ より小さい値から、徐々に、大きくなり、 $1$ に近づいていく。
ある時点で、 $1$ になる。
その後、徐々に、 $1$ より大きくなる。

このように、 $\log a$ は「 $1$ を含めた数値の範囲」で変化します。

前述したように、導関数の曲線は、 $a^{x}$ と $\log a$ を掛け合わせたものです。よって、導関数の曲線は、以下のように変化します。

$a^{x}$ に $1$ より小さな値を掛けた値から、徐々に大きな値を掛けた値になる。
ある時点で、 $a^{x}$ に $1$ を掛けた値になる。
その後、徐々に、 $a^{x}$ に $1$ より大きな値を掛けた値になる。

このように、 $\log a$ の変化を理解することで、導関数の曲線の「移動していく」ような挙動を理解することができます。

前述した２つのアニメーションは、同時に見たほうが、より理解が深まります。そこで、この２つのアニメーションを横に並べた、新たなアニメーションも作成しました。このページでは、この新しいアニメーションを、「並列アニメーション」と名付けています。

しかし、この並列アニメーションは、横幅が長いため、ブログページ内に収まりません。そこで、別のページ（アニメーション単体のページ）で、表示することにしました。

以下のリンクを、ご利用ください（お使いの Web ブラウザが対応している動画形式を、選択してください）。

今まで説明したことを、文章ではなく、式の形で、まとめます。

$a$ が変化したとき、指数関数 $y = a^{x}$ と、その導関数 $y^{'} = a^{x} \log a$ の、２つの式の曲線は、以下のような関係になります。

$\begin{aligned} y & > y^{'} & (\log a & < 1) \\ y & = y^{'} & (\log a & = 1) \\ y & < y^{'} & (\log a & > 1) \end{aligned}$

次の節で、この３つの状態の具体的な例を、静止画で示します。

静止画

これまでの説明では、曲線の挙動を理解するために、「 $a^{x}$ 」と「 $\log a$ 」の式に着目していました。そして、 $a$ の値自体には、あまり着目していませんでした。

しかし、指数関数を理解するときには、この $a$ の値も重要です。特に大事なのは、 $\log a = 1$ になるときの $a$ の値です。それが、ネイピア数 $e = 2.71828 \dots$ です。

先に示したアニメーションの中にも、この $a = e$ のときのグラフが描かれています。しかし、アニメーションでは、個々のグラフは、瞬間的にしか表示されないため、このグラフを肉眼で確認するのは困難です。そこで、この後、 $a = e$ のときのグラフを、静止画で示します。

また、この $a = e$ は、前の節の最後に説明した、３つの状態の式のうち、２番目の式に対応します。残り２つの状態についても、静止画のグラフを確認することで、理解が深まると思います。そこで、この後、 $a = 2, 4$ のときのグラフも、静止画で示します。

例１: $a = 2$

$a = 2$ のときの、２つのグラフの静止画を、以下に示します。

$a = 2$ が、 $e$ より小さいこと $(a = 2 < e)$ を、意識してください。

対数関数 $\log x$ の $x$ に、 $a = 2$ を代入すると、以下のようになります。

$\log a = \log 2 \approx 0.693 < 1$

対数関数のグラフでも、赤い点の $y$ 軸の値が、 $1$ より小さいことを確認できます。

次に、指数関数と、その導関数の数式に、 $a = 2$ を代入すると、以下のようになります。

$\begin{aligned} y & = a^{x} & = 2^{x} \\ y^{'} & = a^{x} \log a & = 2^{x} \log 2 \approx 2^{x} \times (0.693) \end{aligned}$

$∴ y > y^{'}$

指数関数のグラフでも、指数関数の曲線の値が、導関数の曲線の値より、常に大きいことを確認できます。

例２: $a = e$

$a = e$ のときの、２つのグラフの静止画を、以下に示します。

対数関数 $\log x$ の $x$ に、 $a = e$ を代入すると、以下のようになります。

$\log a = \log e = 1$

対数関数のグラフでも、赤い点の $y$ 軸の値が、 $1$ と等しいことを確認できます。

次に、指数関数と、その導関数の数式に、 $a = e$ を代入すると、以下のようになります。

$\begin{aligned} y & = a^{x} & = e^{x} \\ y^{'} & = a^{x} \log a & = e^{x} \log e = e^{x} \end{aligned}$

$∴ y = y^{'}$

指数関数のグラフでも、指数関数の曲線と、導関数の曲線が、一致していることを確認できます。

ここで述べたことは、重要なので、以下にまとめます。

指数関数 $y = a^{x}$ と、その導関数 $y^{'} = a^{x} \log a$ は、 $a = e$ のとき、一致して、 $y = y^{'} = e^{x}$ となります。

例３: $a = 4$

$a = 4$ のときの、２つのグラフの静止画を、以下に示します。

$a = 4$ が、 $e$ より大きいこと $(a = 4 > e)$ を、意識してください。

対数関数 $\log x$ の $x$ に、 $a = 4$ を代入すると、以下のようになります。

$\log a = \log 4 \approx 1.386 > 1$

対数関数のグラフでも、赤い点の $y$ 軸の値が、 $1$ より大きいことを確認できます。

次に、指数関数と、その導関数の数式に、 $a = 4$ を代入すると、以下のようになります。

$\begin{aligned} y & = a^{x} & = 4^{x} \\ y^{'} & = a^{x} \log a & = 4^{x} \log 4 \approx 4^{x} \times (1.386) \end{aligned}$

$∴ y < y^{'}$

指数関数のグラフでも、指数関数の曲線の値が、導関数の曲線の値より、常に小さいことを確認できます。

$a = 2, e, 4$ の３つの例を理解した後で、前述したアニメーションを、もう一度見てみると、指数関数と導関数の、２つの曲線の変化が、より理解できると思います。

「指数関数とその導関数のアニメーション」の章は、ここで終了です。

次のページ: 指数関数のアニメーションと静止画を作成する SageMath スクリプト

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指数関数と導関数のアニメーション（学生向け）

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